11 класс школьной геометрии знакомит с применением метода координат в пространственных задачах: скалярное произведение, нахождение угла между прямыми и плоскостями. Кроме того изучаются некоторые виды пространственных фигур.
Основное понятие об объемах различных тел,формулы для вычисления объемов многогранника, цилиндра, шара, конуса, решается ряд задач на вычисление объемов различных тел. Заканчивается школьный курс геометрии повторением всего пройденного и решением различных задач.
Стоит также отметить, что в 11 классе школьники сдают ЕГЭ по математике, где одно из заданий обязательно включает в себя задачу из геометрии.
Геометрия 11 класс
Урок№8 - Сфера и шар.
Продолжаем изучать тела вращения. На этом уроке мы познакомимся с шаром и сферой и их элементами. Какая фигура получится, если из точки, лежащей вне шара, провести всевозможные отрезки, касающиеся его поверхности? Об этом мы узнаем на этом уроке.
мы узнаем:
что такое сфера и ее элементы;
что такое шар и его элементы.
мы научимся:
строить схематично на чертеже сферу, называть и обозначать её элементы;
находить требуемые элементы сферы и шара;
находить площади поверхности сферы;
писать уравнение сферы.
мы сможем:
решать задачи на нахождение элементов сферы и шара
Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Множество точек пространства, ограниченное сферой, называется шаром.
Уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0)
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 .
Возможны три разных случая взаимного расположения сферы и плоскости:
– они могут не иметь общих точек (если расстояние от центра до прямой больше радиуса);
– могут иметь одну общую точку – случай касания (если расстояние от центра до прямой равно радиусу;
– могут иметь бесконечно много общих точек – случай пересечения (если расстояние от центра до прямой меньше радиуса).
Теорема (свойство касательной плоскости): радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Обратная теорема (признак касательной плоскости): если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Площадь сферы можно найти по формуле:
S = 4πR2 – площадь сферы.
Некоторые дополнительные понятия и теоремы
Касательная прямая к сфере (шару) – это прямая, которая имеет со сферой (шаром) только одну общую точку точке.
Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке касания.
Расстояние от центра сферы до касательной прямой равно радиусу сферы.
Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку. Касание может быть внутренним и внешним.
Концентрическими сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют общий центр и радиусы различной длины.
Площади шарового сегмента и сектора
Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью.
Основанием сегмента называют круг, который образовался в месте сечения.
Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основания сегмента к поверхности сегмента.
S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.